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圆锥曲线点共线和点共圆问题

2022-04-21 深度 13 ℃ 0 评论
阿达名校网

圆锥曲线中证明三点共线问题和证明四点共圆问题在近几年高考中很少出现,反而在十年前考查的比较多,有关此类问题的证明在公众号中并没有给出,恰好有同学问到此类问题,今天做一个整理。

若证明三点共线,此时的思路有两种,第一种从斜率出发,证明斜率相等即可,但是此时需要注意有没有斜率不存在的情况;第二种从向量出发,若从向量角度证明可规避斜率不存在的情况,此类问题证明起来并不难,给出以下几个案例:

注意在第一问中最好使用点差法,不要直接使用中点弦的结论。

注意此处,题目中让证明三点共线,则肯定满足向量平行,上述红框中的部分如果化简起来较为困难可直接写出0即可。

以上是三个点共线的问题,点共线的问题可以转化为一种定值问题,只不过定值恰好是零。

在以往的高考中若考查点共圆问题,考查的是四点共圆,因为不在同一条直线上的三点肯定共圆,没有考查的意义,证明四点共圆或者根据共圆求圆的方程或某些参数的值时的做法通常有两种,第一种是利用斜率互为相反数或者直接利用曲线系来解出圆的方程,这两种做法都基于直线系或曲线系,用曲线系解题的思路如下:

题目设置上是一个二次曲线f(x,y)=0和两条直线m(x,y)=0,n(x,y)=0产生四个交点,此时四个交点所在曲线的曲线系方程为λf(x,y)+m(x,y)×n(x,y)=0,对前面式子合并之后会产生x和y二次的形式,若四点共圆,则合并之后的式子必定符合圆的形式,从而求出对应的未知参数,若不能满足圆的形式,则四点不共圆,这样做的好处是把证明题直接转化为计算题,难度降低很多。

当然也可以直接用斜率互为相反数来证明共圆,所使用的定理如下:

共线共圆问题不属于圆锥曲线中的难题,在计算上也不会过于复杂,重点注意用曲线系方程证明四点共圆的方法。

本文来源:http://www.adwzw.cc/shendu/11435.html

Tags:圆锥曲线点共圆

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